含义Meaning
作用在任意函数（如某个原子轨道）上，得到属于不可约表示 i 的对称性匹配线性组合（SALC），是构造分子轨道、简正坐标的系统方法。
Applied to any function (e.g. one atomic orbital) it produces the symmetry-adapted linear combination belonging to irrep i — a systematic route to MOs and normal coordinates.
符号说明Symbols
| 符号Symbol | 含义 Meaning | 单位 Unit |
|---|---|---|
| \(\hat R\) | 对称操作symmetry operation | |
| \(\hat P^{\,i}\) | 投影到第 i 个不可约表示的算符projector onto irrep i |
推导Derivation
任意函数可展开为各不可约表示分量之和：\(f = \sum_i f^{(i)}\)。
Any function splits into irreducible components.
由广义正交定理，\(\sum_R\chi_i(R)^*\hat R\) 作用后只保留第 i 个分量（其他分量互相抵消），乘 \(l_i/h\) 归一。
By the great orthogonality theorem only the i-th component survives.
结果需再归一化；若得零，说明该函数不含此对称性分量。
Normalise the result; zero means no such component.
适用条件与局限Assumptions & limitations
多维不可约表示用特征标版本只能得到该表示空间中的某个组合，可能需要对不同起始函数重复以得到正交的伙伴函数。
For degenerate irreps the character version gives one combination; repeat with other starting functions for partners.
例题Worked example
NH₃ 中三个 H 1s 轨道 h₁、h₂、h₃：\(\hat P^{A_1}h_1 \propto h_1 + h_2 + h_3\)；\(\hat P^{E}h_1 \propto 2h_1 - h_2 - h_3\)。
NH₃ H 1s orbitals: A₁ → h₁ + h₂ + h₃; E → 2h₁ − h₂ − h₃.