含义Meaning
在一定置信水平（如 95%）下，真值落在此区间内。样本少时用学生 t 分布代替正态分布，t 值随自由度减少而增大。
At a chosen confidence level (e.g. 95 %) the true mean lies in this interval. For small samples Student’s t replaces the normal distribution; t grows as degrees of freedom fall.
符号说明Symbols
| 符号Symbol | 含义 Meaning | 单位 Unit |
|---|---|---|
| \(t_{\alpha,\,n-1}\) | t 分布临界值（95%：n = 3 时 4.30，n = 5 时 2.78，n = 10 时 2.26）Student t critical value (95 %: 4.30 for n = 3, 2.78 for n = 5, 2.26 for n = 10) | 1 |
推导Derivation
若 σ 已知，\((\bar x - \mu)/(\sigma/\sqrt n)\) 服从标准正态分布，95% 区间 ±1.96。
With σ known, \((\bar x-\mu)/(\sigma/\sqrt n)\) is standard normal (±1.96 at 95 %).
σ 未知、用 s 估计时，该统计量服从自由度 n − 1 的 t 分布（戈塞特，1908，笔名“学生”）。
With s in place of σ it follows Student’s t with n − 1 degrees of freedom (Gosset, 1908).
由 t 分布查得临界值即得区间。
Look up the critical t.
适用条件与局限Assumptions & limitations
假设数据独立、近似正态；存在系统误差时区间可能根本不包含真值。
Assumes independent, roughly normal data; bias can put the true value outside.
例题Worked example
5 次测定 Cu 含量：x̄ = 10.12%，s = 0.05%：μ = 10.12 ± 2.78×0.05/√5 = 10.12 ± 0.06%（95%）。
Five Cu results: 10.12 ± 0.06 % at 95 %.