平均值与标准偏差 Mean and standard deviation — 公式推导、符号与局限

\[\bar x = \frac1n\sum_{i=1}^n x_i,\qquad s = \sqrt{\frac{\sum_i(x_i - \bar x)^2}{n - 1}},\qquad \mathrm{RSD} = \frac{s}{\bar x}\times100\%\]

平均值的标准误差standard error of the mean

\[s_{\bar x} = \frac{s}{\sqrt n}\]

含义Meaning

平均值估计真值，标准偏差衡量测量的精密度（离散程度）。分母用 n − 1 是因为已用数据求出平均值，失去一个自由度。

The mean estimates the true value; the standard deviation measures precision. The n − 1 accounts for the degree of freedom used up by the mean.

符号Symbol	含义 Meaning	单位 Unit
\(\bar x\)	样本平均值sample mean
\(s\)	样本标准偏差sample standard deviation
\(n\)	测量次数number of measurements	1
\(\mathrm{RSD}\)	相对标准偏差（变异系数）relative standard deviation	%

若真值 μ 已知，方差 \(\sigma^2 = \frac1n\sum(x_i - \mu)^2\)。
With a known true mean, \(\sigma^2 = \frac1n\sum(x_i-\mu)^2\).
用 \(\bar x\) 代替 μ 时，\(\sum(x_i - \bar x)^2\) 系统偏小；其期望值为 \((n-1)\sigma^2\)，故除以 n − 1 得无偏估计（贝塞尔校正）。
Using \(\bar x\) underestimates; the expectation is \((n-1)\sigma^2\), so divide by n − 1 (Bessel’s correction).
n 次独立测量平均值的方差为 \(\sigma^2/n\)，所以多次测量可提高平均值精密度（但按 \(\sqrt n\) 递减）。
The mean of n measurements has variance σ²/n — precision improves only as √n.

标准偏差只反映随机误差，不反映系统误差（准确度需用标准物质或回收率检验）。
Captures random error only, not systematic error (bias).
小样本（n < 5）的 s 本身很不确定。
With n < 5 s is itself poorly determined.