杨氏方程（接触角） Young's equation (contact angle) — 公式推导、符号与局限

\[\gamma_{sg} = \gamma_{sl} + \gamma_{lg}\cos\theta,\qquad W_a = \gamma_{lg}(1 + \cos\theta)\]

含义Meaning

液滴在固体表面达到平衡时三相界面张力的平衡（1805）。θ < 90° 为润湿（亲液），θ > 90° 为不润湿（疏液），θ > 150° 为超疏水（荷叶效应）。

Balance of the three interfacial tensions at the contact line (1805): θ < 90° wetting, θ > 90° non-wetting, θ > 150° superhydrophobic (lotus effect).

符号Symbol	含义 Meaning	单位 Unit
\(\gamma_{sg}, \gamma_{sl}, \gamma_{lg}\)	固–气、固–液、液–气界面张力solid–gas, solid–liquid, liquid–gas tensions	N·m⁻¹
\(\theta\)	接触角contact angle	°
\(W_a\)	黏附功（杜普雷）work of adhesion (Dupré)	J·m⁻²

三相线沿表面移动 dA：自由能变化 \(dG = (\gamma_{sl} - \gamma_{sg})dA + \gamma_{lg}\cos\theta\,dA\)。
Moving the contact line by dA changes G by \((\gamma_{sl} - \gamma_{sg} + \gamma_{lg}\cos\theta)dA\).
平衡时 dG = 0，即得杨氏方程（也可看成水平方向力的平衡）。
Setting dG = 0 gives Young’s equation (a horizontal force balance).
结合杜普雷式 \(W_a = \gamma_{sg} + \gamma_{lg} - \gamma_{sl}\) 得杨–杜普雷方程。
With Dupré’s W_a this gives Young–Dupré.

适用于理想光滑、均匀、刚性表面；粗糙表面用文策尔或卡西–巴克斯特模型，实际存在接触角滞后。
Ideal smooth homogeneous surfaces; roughness needs Wenzel or Cassie–Baxter, and real surfaces show hysteresis.