德拜长度与双电层 Debye length and the electrical double layer — 公式推导、符号与局限

\[\kappa^{-1} = \sqrt{\frac{\varepsilon_r\varepsilon_0k_\mathrm BT}{2N_Ae^2I}} \approx \frac{0.304\ \mathrm{nm}}{\sqrt{I/(\mathrm{mol\,L^{-1}})}}\ (25\,{}^\circ\mathrm C\ \text{水}),\qquad \psi(x) = \psi_0e^{-\kappa x}\]\[\kappa^{-1} = \sqrt{\frac{\varepsilon_r\varepsilon_0k_\mathrm BT}{2N_Ae^2I}} \approx \frac{0.304\ \mathrm{nm}}{\sqrt{I/(\mathrm{mol\,L^{-1}})}}\ (25\,{}^\circ\mathrm C\ \text{water}),\qquad \psi(x) = \psi_0e^{-\kappa x}\]

含义Meaning

电解质溶液中电荷的屏蔽长度：带电表面附近的电势在约一个德拜长度内衰减（古伊–查普曼扩散层）。离子强度越大，屏蔽越强、双电层越薄——这是胶体加盐聚沉的原因。

The screening length in electrolytes: a charged surface’s potential decays over about one Debye length (Gouy–Chapman diffuse layer). Higher ionic strength thins the layer — why salt coagulates colloids.

符号说明Symbols

符号Symbol	含义 Meaning	单位 Unit
\(\kappa^{-1}\)	德拜长度Debye length	m
\(\varepsilon_r\)	相对介电常数（水 78.5）relative permittivity (water 78.5)	1
\(I\)	离子强度ionic strength	mol·m⁻³ (公式) / mol·L⁻¹ (近似式)
\(\psi_0\)	表面电势surface potential	V

推导Derivation

泊松方程 \(\nabla^2\psi = -\rho/\varepsilon\)，离子按玻尔兹曼分布 \(c_i = c_i^0e^{-z_ie\psi/k_\mathrm BT}\)。
Poisson’s equation with Boltzmann-distributed ions.
弱电势下线性化（德拜–休克尔近似）：\(\nabla^2\psi = \kappa^2\psi\)，\(\kappa^2 = \frac{2N_Ae^2I}{\varepsilon k_\mathrm BT}\)。
Linearise for small ψ: \(\nabla^2\psi = \kappa^2\psi\).
平面解为指数衰减；斯特恩模型再加一层紧贴表面的离子层。
The planar solution decays exponentially; Stern adds a compact layer.

适用条件与局限Assumptions & limitations

线性化要求 \(|\psi| < k_\mathrm BT/e \approx 25\ \mathrm{mV}\)；高电势用完整的泊松–玻尔兹曼解。
Linearisation needs |ψ| < 25 mV.

例题Worked example

0.1 mol/L NaCl：κ⁻¹ ≈ 0.96 nm；纯水（I ≈ 10⁻⁷）约 1 μm；海水（I ≈ 0.7）约 0.36 nm。

0.1 M NaCl: ~0.96 nm; pure water ~1 μm; seawater ~0.36 nm.