刚性转子 Rigid rotor — 公式推导、符号与局限

\[E_J = \frac{\hbar^2}{2I}J(J+1) = hcB\,J(J+1),\qquad B = \frac{h}{8\pi^2cI},\quad I = \mu r^2\]

含义Meaning

键长固定的双原子分子转动。能级按 J(J+1) 增大，每级 2J+1 重简并；选择定则 ΔJ = ±1，谱线间隔 2B。

Rotation of a diatomic with fixed bond length: levels grow as J(J+1), each (2J+1)-fold degenerate; ΔJ = ±1 gives lines spaced 2B.

符号Symbol	含义 Meaning	单位 Unit
\(J\)	转动量子数rotational quantum number	1
\(I\)	转动惯量moment of inertia	kg·m²
\(B\)	转动常数（波数）rotational constant (wavenumber)	cm⁻¹
\(r\)	键长bond length	m

两质点绕质心转动等价于质量 μ 的粒子在半径 r 的球面上运动，\(V = 0\)。
Two masses rotating about the centre of mass equal one particle of mass μ on a sphere of radius r.
球面上的角动量本征函数是球谐函数 \(Y_J^{M}\)，\(\hat L^2Y = J(J+1)\hbar^2Y\)。
Eigenfunctions are spherical harmonics, \(\hat L^2Y = J(J+1)\hbar^2Y\).
能量 \(E = L^2/2I = J(J+1)\hbar^2/2I\)。
Energy \(E = L^2/2I\).
吸收 J → J+1：\(\tilde\nu = 2B(J+1)\)，相邻谱线间隔 2B，由此求键长。
Absorption J → J+1 at \(2B(J+1)\); spacing 2B gives the bond length.

真实分子转动时键被拉长（离心畸变）：\(E = BJ(J+1) - DJ^2(J+1)^2\)。
Centrifugal distortion: \(E = BJ(J+1) - DJ^2(J+1)^2\).
只有具永久偶极矩的分子有纯转动吸收谱（N₂、O₂ 无）。
Pure rotational absorption needs a permanent dipole (not N₂, O₂).

¹H³⁵Cl：2B = 20.9 cm⁻¹ → B = 10.45 cm⁻¹ → I = 2.68×10⁻⁴⁷ kg·m² → r = 1.28 Å。

¹H³⁵Cl: 2B = 20.9 cm⁻¹ → r = 1.28 Å.