含义Meaning
薛定谔方程唯一能精确求解的原子。能量只依赖主量子数 n（\(n^2\) 重简并），波函数分解为径向部分和球谐函数角部分。
The only atom solvable exactly. Energy depends only on n (n²-fold degenerate); the wavefunction factorises into a radial part and a spherical harmonic.
符号说明Symbols
| 符号Symbol | 含义 Meaning | 单位 Unit |
|---|---|---|
| \(n, l, m\) | 主、角、磁量子数（l = 0…n−1，|m| ≤ l）principal, angular, magnetic quantum numbers | 1 |
| \(Z\) | 核电荷数nuclear charge | 1 |
| \(\mu\) | 电子–核约化质量electron–nucleus reduced mass | kg |
| \(a_0\) | 玻尔半径 0.529 ÅBohr radius | m |
推导Derivation
势能 \(V = -Ze^2/(4\pi\varepsilon_0r)\) 球对称，用球坐标分离变量 \(\psi = R(r)Y(\theta,\phi)\)。
The Coulomb potential is spherical; separate \(\psi = R(r)Y(\theta,\phi)\).
角向方程与刚性转子相同，解为 \(Y_l^m\)，本征值 \(l(l+1)\hbar^2\)。
The angular equation is the rigid-rotor one: \(Y_l^m\) with \(l(l+1)\hbar^2\).
径向方程含有效势 \(V_\text{eff} = -\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0r} + \frac{l(l+1)\hbar^2}{2\mu r^2}\)（离心势垒）。
The radial equation has an effective potential including the centrifugal barrier.
要求 R 在无穷远处有界，级数（拉盖尔多项式）必须截断，得到 \(n = l + 1 + n_r\) 和 \(E_n \propto -1/n^2\)。
Requiring R to stay finite truncates the Laguerre series, giving \(E_n \propto -1/n^2\).
节点：径向节点 n − l − 1 个，角节面 l 个，共 n − 1 个。
Nodes: n − l − 1 radial, l angular, n − 1 total.
适用条件与局限Assumptions & limitations
多电子原子中同一 n 的 s、p、d 不再简并（屏蔽与穿透），需用斯莱特规则或自洽场计算。
In many-electron atoms s, p, d of the same n split (shielding/penetration).
忽略自旋–轨道耦合、相对论效应和兰姆位移（精细结构约 10⁻⁴ eV 量级）。
Ignores spin–orbit, relativistic and Lamb-shift corrections (~10⁻⁴ eV).