一元弱酸溶液的 pH pH of a weak monoprotic acid — 公式推导、符号与局限

\[[\mathrm H^+] \approx \sqrt{K_a c}\quad(c/K_a \ge 500,\ K_ac \ge 20K_w),\qquad \mathrm{pH} = \tfrac12(\mathrm pK_a - \lg c)\]

不忽略电离对浓度的影响（二次方程解）quadratic solution without neglecting dissociation

\[[\mathrm H^+] = \frac{-K_a + \sqrt{K_a^2 + 4K_ac}}{2}\]

精确式（含水的电离）exact cubic including water

\[[\mathrm H^+]^3 + K_a[\mathrm H^+]^2 - (K_ac + K_w)[\mathrm H^+] - K_aK_w = 0\]

含义Meaning

弱酸只部分电离；在电离度小且忽略水的电离时，[H⁺] 约为 Ka 与浓度乘积的平方根。

A weak acid ionises only partly; when dissociation is small and water’s contribution negligible, [H⁺] ≈ √(Ka c).

符号Symbol	含义 Meaning	单位 Unit
\(c\)	酸的分析浓度analytical concentration of the acid	mol·L⁻¹
\(K_a\)	酸解离常数acid dissociation constant	1

电荷平衡 \([\mathrm H^+] = [\mathrm A^-] + [\mathrm{OH^-}]\)，物料平衡 \(c = [\mathrm{HA}] + [\mathrm A^-]\)。
Charge balance and mass balance.
忽略水的电离（\(K_ac \gg K_w\)）：\([\mathrm A^-] \approx [\mathrm H^+]\)，\(K_a = [\mathrm H^+]^2/(c - [\mathrm H^+])\) → 二次方程。
Neglecting water gives \(K_a = [\mathrm H^+]^2/(c - [\mathrm H^+])\).
再忽略 \([\mathrm H^+]\) 相对 c（电离度 < 5%）：\([\mathrm H^+] = \sqrt{K_ac}\)。
If dissociation is below ~5 %, \([\mathrm H^+] = \sqrt{K_ac}\).

极稀或极弱酸（\(K_ac < 20K_w\)）要计入水的电离；较浓或较强的弱酸要用二次方程。
Very dilute or very weak acids need water’s contribution; stronger ones the quadratic.

0.10 mol/L 乙酸（Ka = 1.8×10⁻⁵）：[H⁺] = 1.34×10⁻³ mol/L，pH = 2.87，电离度 1.3%。

0.10 M acetic acid: pH = 2.87, 1.3 % ionised.